Contenido

¿Qué es Integrando Volúmenes y Áreas?

¿Qué es cálculo integral? 

Longitud de arco

 Áreas

Áreas Entre Curvas

Métodos aproximados en areas

Ejemplos de áreas entre curvas

Volúmenes de revolución

Cálculo de volúmenes por el método de los discos

Volúmenes de revolución: El Método de las arandelas

Método De Los Casquillos Cilíndricos

 

 

 

 

 

 

 

 

Método De Los Casquillos Cilíndricos

Ahora vamos a exponer el último método, quizás el mas potente en comparación a los dos anteriormente vistos; el método de los casquillos cilíndricos (también se le denomina método de capas).
Antes de trabajar con este método, consideremos la siguiente figura:

Tenemos pues una región R acotada por una función f continua y por las rectas x=a y x=b, y se desea hallar el volumen del sólido generado al girar esta región alrededor del eje y. Usando el método de las arandelas, tenemos que determinar con la ayuda del segmento trazado sobre R, los radios exterior e interior a saber  r¹ =f(y) y r²=f(y). Esto era a lo que queríamos llegar! Ambos radios resultaron ser la misma f. (Hemos supuesto que en f se pueda la variable independiente), y por tanto no se puede aplicar el método de Arandelas ni mucho menos el método del Disco. Luego tenemos que generar una expresión que nos permita hallar el volumen de este sólido. Como el segmento trazado era PERPENDICULAR al eje de rotación, consideremos ahora ese mismo segmento pero PARALELO al eje de rotación (eje y), como se muestra en la siguiente figura:

 

Para determinar el volumen del sólido, tomamos un elemento con forma de cilindro (en vez de arandela o disco) con altura h (longitud del segmento) y radio x (distancia del segmento al eje y). Este hecho se muestra en las figuras de abajo.

El procedimiento a seguir ahora es de hallar el volumen de este casquillo. El volumen correspondiente viene dado por:

Vc=2π X hΔx

Donde representa el grosor del casquillo (grosor del segmento). xΔ
Ahora que la suma de todos los volúmenes de los casquetes cilíndricos tomados del sólido, generan aproximadamente el volumen del sólido.

expresa por medio de la función h=f(x). Por último si integramos VC con respecto a x obtenemos una expresión matemática aceptable para el volumen de este sólido, a saber:

Volúmenes de revolución: El Método de las arandelas

Este método consiste en hallar el volumen de un sólido generado al girar una región R que se encuentra entre dos curvas como se muestra en la siguiente figura:

 

Sí la región que giramos para formar un sólido no toca o no cruza el eje de rotación, el sólido generado tendrá un hueco o agujero. Las secciones transversales que también son perpendiculares al eje de rotación son arandelas en lugar de discos. (Es por esto el nombre del método). Lo anterior lo podemos apreciar en la figura de abajo.

Ahora hallemos las dimensiones de la arandela (Radio exterior R y radio interior r) usando la figura anterior. El radio exterior (radio más grande) lo determina la función y el radio interior (radio más pequeño) lo determina la función g. Como en la sección anterior (método del disco) hallamos el área de la arandela así: 

 

El volumen del solido generado al dirigir la región R sobre el eje x(o algún eje paralelo a el) viene dado por: Definición: El volumen del sólido generado al girar la región R sobre el eje x( o algún eje paralelo a él) viene dado por:  Sí el eje de rotación es el eje y (o un eje paralelo el) tiene una expresión análoga a la anterior. Luego podemos ver que  Es una expresión válida que evalúa el volumen de un sólido generado al girar una región R sobre el eje y (o algún eje paralelo a él) con  c≤y≤d